Et quid des logarithmes, alors?

J'avais déjà une fois essayé de comprendre les logarithmes selon non la ligne des nombres ("si 10¹ est 10 est 10² est 100, les puissances 10^{1 à 2} correspondront aux nombres 10 à 100") mais avec les définitions grecques: un nombre ne peut être facteur que dans une puissance définie par un exponent en nombre naturel. Sinon, il doit s'agir d'un abrégé algébraïque pour autre chose.

L'étonnant est que ça fonctionne:

"10^0,301" = à peu près = 2
implique que
"10^x/y" = à peu près = 2
ce qui implique que
10^x = à peu près = 2^y.

Puisque 2 n'est pas pour de vrai une puissance de 10, il n'y aura jamais un nombre ni un nombre décimale (ce qui n'est pas un nombre mais déjà une proportion, pas un arithmos mais un logos) pour lequel l'adéquation sera autre chose qu'à peu près.

Prenons cette fois l'autre route. Entre 10¹ et 10² il y a un "10^1,5" = "10^3/2". Ce qui donne:

10³ = "x²"
implique que
10³ = 1000
ce qui implique que
1000 = "x²."

Et puisque 1000 n'est pas pour de vrai un nombre carrée, il n'y aura jamais un x pour lequel ceci sera exacte. Le carré de 31 est 961. Celui de 32 est 1024. Un "nombre dont le carré est mil" ne peut donc être qu'entre 31 et 32, mais entre les deux comme nombres (arithmoi) il n'y a pas de nombre intermédiaire. Seulement entre les deux comme rapports (logoi) il y a des rapports intermédiaries.

J'ai trouvé que 31,625 est supérieur à "la racine carrée de 1000" et 31,61875 y est inférieur. Mais ce à quoi ils sont supérieurs et inférieurs n'est pas un nombre, comme "combien d'oranges", c'est un rapport comme "le côté d'un carrée dont la surface égale 1000 unités standardisées²" (que l'unité standardisée soit cm ou pieds ou autres, même ad hoc).

Alors ce n'est pas étonnant que l'utilisation la plus connue des logarithmes soit la règle à calculer qui est une chose géométrique.

Hans-Georg Lundahl
à Versailles
St Marcel, Pape et Martyr
16-I-2013